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El modelo SIR y los fundamentos de la política sanitaria aplicados al COVID-19

El modelo SIR es el modelo básico utilizado por los epidemiólogos para estudiar la transmisión de enfermedades infecciosas causada por bacterias, virus o hongos. Como cualquier modelo, es una abstracción de la realidad y se focaliza en entender los mecanismos centrales del objeto de estudio. Ese proceso de abstracción se formula a través de aspectos del mundo real no considerados en el modelo y de supuestos que simplifican aquellos aspectos considerados. Lo importante es poder entender las principales relaciones causales que operan en el mundo real en relación al fenómeno de interés, y poder operar sobre ellas.

El modelo SIR (susceptible-infected-removed), desarrollado por Ronald Ross y William Hamer en la primera parte del Siglo XX, consiste de un sistema de tres ecuaciones diferenciales no lineales, el cual no posee solución matemática explícita, aunque existe un conjunto de propiedades de la solución del modelo que pueden derivarse analíticamente. El modelo es resuelto a través de métodos de simulación numéricos.

Consideremos una población de personas (animales o plantas) que se mantendrá constante en el tiempo y partámosla en tres grupos: individuos susceptibles (S(t)), infectados (I(t)) y recuperados (R(t)). En otra versión del modelo, los recuperados se denominan removidos, pues incluyen las personas recuperadas y fallecidas. Esto no cambia mucho el modelo, especialmente si los individuos recuperados adquieren inmunidad de por vida, como supone la versión básica de este modelo. Permitir que un grupo de individuos fallezca, naturalmente, cambia el tamaño de la población a lo largo del tiempo. También supondremos que no hay un periodo en el que los individuos infectados no transmiten la enfermedad y la transmisión del virus opera vía contacto personal entre individuos. Estos supuestos no son cruciales, sin embargo.

Un supuesto importante es el siguiente: la tasa de encuentro entre la población susceptible e infectada es proporcional al producto de ambas poblaciones (mass action mixing: S(t) I(t)). Es importante notar que este producto va cambiando en el tiempo a medida que más y más individuos van adquiriendo inmunidad: aumenta R(t).

El modelo, entonces, especifica la transición entre estados. Por cada unidad de tiempo, b S(t) I(t) (denominado termino de incidencia bilineal) personas dejan de ser susceptibles, pues se infectan. b (>0) es la tasa de transmisión de la enfermedad (per cápita). b se supone constante a lo largo del tiempo, el cual, especialmente en el caso de una nueva enfermedad, puede ser un supuesto muy fuerte aun en ausencia de políticas sanitarias. Al menos los seres humanos son capaces de aprender sobre cómo reducir la posibilidad de contagio alterando su comportamiento y, por lo tanto, reduciendo b.

¿Cómo cambia la cantidad de infectados en el tiempo? Por un lado, sabemos que crece en el término de incidencia bilineal, pues ese es el número de personas que se infectan. A la vez, v I(t) personas se recuperan. v (>0) es la tasa de recuperación, y, por tanto, (1/v mide la duración de la enfermedad). Naturalmente, R(t) crece en v I(t) por unidad de tiempo. Bajo estos supuestos, es interesante ver la curva de infectados durante una epidemia. Un resultado trivial de este modelo es que la enfermedad siempre desaparece. En el gráfico, presentamos la evolución de casos infectados, I(t), durante una epidemia.

Como se puede observar, la cantidad de personas que tienen la enfermedad en un momento del tiempo primero crece exponencialmente; alcanza un máximo y a partir de allí decrece hasta desaparecer. Dado que el modelo supone que la tasa de transmisión de la enfermedad es constante, resulta natural preguntarse qué genera esta dinámica. La respuesta es sencilla. El número de infectados crece en un momento del tiempo si se infectan más personas que las que se curan. Siempre se cura una proporción constante del número de personas infectadas, pero la proporción de personas que se infecta depende del producto de personas susceptibles (S(t)) e infectadas (I(t)). Ese producto va cambiando a lo largo de una epidemia contribuyendo a generar la curva presentada arriba.

Supongamos además que cada individuo infectado tiene k contactos (per capita) por unidad de tiempo. Sea además w la fracción de estos contactos que resulta en una transmisión de la enfermedad. Bajo estos supuestos, b = k w, y k es denominada la transmisibilidad de la enfermedad infecciosa.

 Definamos ahora el número de reproducción básico R = b/v. Definamos también el número de reproducción efectivo Re(t) = R (S(t)/N). En el caso que inicialmente toda la población sea susceptible, Re(0) y R0 serán prácticamente idénticos. Puede mostrarse que si Re(0 )≤ 1, entonces el número de personas inicialmente infectadas decrecerá monoatómicamente a cero. En cambio, si Re(0) > 1, I(t) se comportará como muestra la gigura expuesta arriba. A este caso lo denominamos una epidemia. Si S(0) = N, entonces, intuitivamente, tendremos una epidemia cuando b > v.

Notemos que si, por ejemplo, R = 3, necesitamos que más del 66% de la población haya alcanzado o este en proceso de alcanzar inmunidad para que el número de infectados comience a caer monótonamente a cero.

Entonces, hemos aprendido que la clave para enfrentar una epidemia está en reducir Re por debajo de 1. ¿Cómo hacerlo? Consideremos el rebrote de una enfermedad. Reducir Re por debajo de 1 requiere operar sobre los parámetros del modelo que hemos estudiado de la siguiente forma.

Reducir la duración de la enfermedad –incrementar v. Para ello es necesario contar con tratamientos efectivos. En el caso de una bacteria, por ejemplo, contar con un antibiótico.

Reducir la tasa de contacto k aislando individuos susceptibles de adquirir la enfermedad. La cuarentena es un caso extremo de este tipo de intervenciones no farmacéuticas.

Reducir S(0), esto es, reducir la población susceptible al inicio de un rebrote. La medida más importante en este caso es la vacunación regular de la población.

 Reducir la transmisibilidad w, educando a la población para que adapte su comportamiento. Por ejemplo, promoviendo el lavado frecuente de manos con jabón y el uso de máscaras fuera del hogar.

AEV/SCI


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